Formula di Minkowski-Steiner

In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l'area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l'area superficiale come la "derivata" di un volume chiuso definito in modo opportuno.

La formula di Minkowski-Steiner è utilizzata, insieme al teorema di Brunn-Minkowski, per provare la disuguaglianza isoperimetrica. Essa porta il nome di Hermann Minkowski e Jakob Steiner.

Enunciato della formula di Minkowski-Steiner

Sia ${\displaystyle n\geq 2}$, e sia ${\displaystyle A\subsetneq \mathbb {R} ^{n}}$ un insieme compatto. Indichiamo con ${\displaystyle \mu (A)}$ la misura di Lebesgue (volume) di ${\displaystyle A}$. Definiamo la quantità ${\displaystyle \lambda (\partial A)}$ mediante la formula di Minkowski-Steiner

${\displaystyle \lambda (\partial A):=\liminf _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left(A {\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu (A)}{\delta }},}$

dove

${\displaystyle {\overline {B_{\delta }}}:=\left\{x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\left||x|:={\sqrt {x_{1}^{2} \dots x_{n}^{2}}}\leq \delta \right.\right\}}$

denota la palla chiusa di raggio ${\displaystyle \delta >0}$ e

${\displaystyle A {\overline {B_{\delta }}}:=\left\{a b\in \mathbb {R} ^{n}\left|a\in A,b\in {\overline {B_{\delta }}}\right.\right\}}$

è la somma di Minkowski di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle {\overline {B_{\delta }}}}$, in modo che

${\displaystyle A {\overline {B_{\delta }}}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}{\mathrel {|}}\ {\mathopen {|}}x-a{\mathclose {|}}\leq \delta {\mbox{ per qualche }}a\in A\right\}.}$

Osservazioni

Misura superficiale

Per insiemi ${\displaystyle A}$ "sufficientemente regolari", la quantità ${\displaystyle \lambda (\partial A)}$ corrisponde effettivamente alla misura ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale della frontiera ${\displaystyle \partial A}$ di ${\displaystyle A}$. Consultare Federer (1969) per una piena trattazione di questo problema.

Insiemi convessi

Quando l'insieme ${\displaystyle A}$ è un insieme convesso, il limite inferiore scritto sopra è un vero limite, e si può dimostrare che

${\displaystyle \mu \left(A {\overline {B_{\delta }}}\right)=\mu (A) \lambda (\partial A)\delta \sum _{i=2}^{n-1}\lambda _{i}(A)\delta ^{i} \omega _{n}\delta ^{n},}$

dove i ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sono funzioni continue di ${\displaystyle A}$ (vedere quermassintegral) e ${\displaystyle \omega _{n}}$ denota la misura (volume) della sfera unitaria in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2 1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\Gamma (n/2)}},}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ denota la funzione Gamma.

Esempio: volume e area superficiale di una sfera

Prendendo ${\displaystyle A={\overline {B_{R}}}}$ si ottiene la seguente formula ben conosciuta valida per l'area superficiale della sfera di raggio ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S_{R}:=\partial B_{R}}$:

${\displaystyle \lambda (S_{R})=\lim _{\delta \to 0}{\frac {\mu \left({\overline {B_{R}}} {\overline {B_{\delta }}}\right)-\mu \left({\overline {B_{R}}}\right)}{\delta }}}$

${\displaystyle =\lim _{\delta \to 0}{\frac {[(R \delta )^{n}-R^{n}]\omega _{n}}{\delta }}}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dR}}\left(R^{n}\omega _{n}\right)=nR^{n-1}\omega _{n},}$

dove ${\displaystyle \omega _{n}}$ è come indicato sopra.

Bibliografia

• Dacorogna, Bernard, Introduction to the Calculus of Variations, London, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2.
• Federer, Herbert, Geometric Measure Theory, New-York, Springer-Verlag, 1969.

Voci correlate

• Teorema di Brunn-Minkowski
• Sfera unitaria
• Ipersfera